Estadística Periodo 2

DESEMPEÑOS:

COGNITIVO: Interpreto y encuentro la media y la mediana en un conjunto de datos usando estrategias gráficas y numéricas.

PROCEDIMENTAL: Explico la información que brinda cada medida en relación con el conjunto de datos.

ACTITUDINAL: Propongo distintas opciones cuando tomamos decisiones en el salón y en la vida escolar.

CATEGORÍAS CONCEPTUALES:

Histogramas.

Diagramas circulares.

Medidas de tendencia central.

1- Media aritmética

La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos.

Ejemplo

¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos?

Así, la media de las edades de Andrea y sus amigos:

M e d i a = \frac{3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 9}{7} = \frac{49}{7} = 7

La media de edad es de 7 años.

La media aritmética de un grupo de datos se calcula así: Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos.

Ejemplo

Se ha anotado el número de hermanos que tiene un grupo de amigos. Los datos obtenidos son los siguientes:

Hermanos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4

Si hacemos el recuento de los datos y seguimos los pasos anteriormente descritos, tenemos:

Nº de hermanos	1	2	3	4
Nº de veces	4	3	2	1

$1 º) 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 20 2 º) N º d e d a t o s : 4 + 3 + 2 + 1 = 10 \Rightarrow 20 \div 10 = 2 L a m e d i a d e l o s d a t o s e s 2 .$

2- Moda

La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

Ejemplo

¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo anterior?

El dato que más se repite es el 1, es el que tiene mayor frecuencia absoluta (4 veces).

La moda del número de hermanos es 1

Ejemplo

2, 3, 4, 5 , 6 , 9

En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.

Ejemplo

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M_o= 1, 5, 9

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

Ejemplo

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 M_o = 4

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

3- La mediana

La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente.

La mediana se representa por Me.

Calculo de la mediana:

1° Ordenamos los datos de menor a mayor.

- La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central.

Ejemplo

Calcular la mediana del conjunto de datos:

- También podemos usar la siguiente fórmula para determinar la posición del dato central:

(n + 1) /2 = mediana datos impares.

- La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

Ejemplo

Calcular la mediana del conjunto de datos:

Ejemplo

En las tablas se muestran las notas obtenidas por dos séptimos básicos. Las muestras corresponde a la cantidad de perfumes que se vendieron en 2 tiendas seleccionadas al azar.

Cantidad de perfumes vendidos en una semana en la tienda A
Lun	Mar	Mie	Jue	Vie	Sáb	Dgo
13	26	18	21	24	33	30

Cantidad de perfumes vendidos en una semana en la tienda B
Lun	Mar	Mie	Jue	Vie	Sáb	Dgo
20	19	24	21	36	60	42

Al ordenar los datos de manera creciente se obtiene:

Tienda A = 13 – 18 – 21 – 24 – 26 – 30 – 33
Valor mínimo: 13
Valor máximo: 33
Rango: 33 – 13 = 20
Mediana: 24

Tienda B = 19 – 20 – 21 – 24 – 36 – 42 – 60
Valor mínimo: 19
Valor máximo: 60
Rango: 60 – 19 = 41
Mediana: 24

En la tienda B, el rango es un valor más grande, lo que indica que hay una mayor dispersión o diferencia entre el valor mínimo y máximo.

Como puedes observar, a pesar que las variaciones entre ambas muestras son variadas la mediana es la misma.

4- Rango

El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

Este dato permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Ejemplo

Se preguntó a 9 familias cuántas bicicletas tenían en total, dieron las respuestas ordenadas en la siguiente tabla:

Nº de bicicletas	0	1	2	3
Frecuencua absoluta	1	5	2	1

- ¿Cómo hallarías el rango?

Se resta el dato mayor al dato menor: 3 - 0 = 3; Por lo tanto el rango sería 3 en este caso.

Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases.

La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.

5- Determinar las medidas de tendencia central en gráficos

En el gráfico se representa la cantidad de horas diarias que trabaja un grupo de personas escogidas al azar.

A- Media aritmética
Para calcular la media aritmética a partir de un gráfico, primero multiplicas la frecuencia absoluta por el valor de cada dato:

6 $\cdot$ 5 = 30
8 $\cdot$ 6 = 48
12 $\cdot$ 7 = 84
16 $\cdot$ 8 = 128
12 $\cdot$ 9 = 108

Luego, sumas los valores y los divides por la cantidad total de datos.

$\frac{30 + 48 + 84 + 128 + 108}{54} = \frac{398}{54} = 7, 37 \approx 7, 4$

B. Mediana
La mediana es un valor central, por lo tanto, se divide el total de datos por 2 y se busca la categoría o barra que represente dicha cantidad.

Para saber la cantidad total de datos puedes sumar los valores de la frecuencia absoluta por cada categoría:

6 + 8 + 12 + 16 + 12 = 54

Entonces, 54 : 2 = 27

El dato número 27 se encuentra en la categoría de 7 horas de trabajo, por esta razón, la mediana es 7.

C. Moda
La moda en un gráfico es el dato con mayor frecuencia absoluta, en este caso es 8, ya que tiene una frecuencia de 16.

6- ¿Cómo realizar inferencias a partir de un grupo de datos?

En las tablas se muestran las edades de 10 personas que asisten a un taller de guitarra y 10 que asisten al taller de danza.

Edades de personas que asisten al taller de guitarra
25	18	23	25	19
32	45	34	28	21

Edades de personas que asisten al taller de danza
29	28	33	27	20
35	40	34	38	51

A partir de las muestras anteriores se pueden determinar las medidas de tendencia central:

1- Edades de personas que asisten al taller de guitarra.

Media aritmética: se suman todos los datos y se divide por la cantidad de datos, en este caso por 10.

$\frac{25 + 18 + 23 + 25 + 19 + 32 + 45 + 34 + 28 + 21}{10} = \frac{270}{10} \frac{270}{10} = 27$

Moda: Se escoge el dato que más se repite en este caso, 25 años se repite 2 veces.

Mediana: Se registran los datos de manera creciente y como 10 es un número par se promedian los dos datos intermedios.

18 – 19 – 21– 23 – 25 – 25 – 28 – 32 – 34 – 45

Mediana: 25

Rango: 45 – 18 = 27

2- Edades de personas que asisten al taller de danza.

Edades de personas que asisten al taller de danza
29	28	33	27	18
32	40	34	38	51

Media aritmética:

$\frac{29 + 28 + 33 + 27 + 18 + 32 + 40 + 34 + 38 + 51}{10} = \frac{330}{10} \frac{330}{10} = 33$

Moda: No hay moda.

Mediana: 18 – 27 – 28 - 29 – 32 – 33 – 34 – 38 – 40 – 51

$\frac{32 + 33}{2} = \frac{65}{2} = 32, 5 \approx 33$

Rango: 51 – 18 = 33

A partir de los datos obtenidos se pueden realizar las siguientes inferencias:

La media aritmética de la muestra del taller de guitarra es 27 años, por lo tanto, se infiere que la mayoría de las personas que asisten al taller deben tener sobre 20.
La mediana de la muestra del taller de danza es 33, se puede decir que al taller de danza va gente con mayor edad que en el taller de guitarra.
Como la mediana de la muestra del taller de danza es 33, se puede decir que las personas que tienen menos de 20 años son pocas.
El rango de edad de los asistentes del taller de danza es mayor que los del taller de guitarra.
La mediana de los asistentes del taller de guitarra es menor que los de taller de danza.

En esta situación es recomendable hacer inferencias con la mediana y media aritmética, ya que la moda no es representativa en ambos casos.

Por su parte, el rango permite conocer la diferencia de edades en los dos talleres y en cuál de los dos grupos se presenta una mayor distribución.

7- Ejercicios

1- Se le pregunta a un grupo de personas acerca de la cantidad de libros que leyó durante el año 2015, y las respuestas son: 4; 3; 2; 7; 10; 8; 2; 9; 3; 6; 8; 1; 1; 9; 2. La moda de la muestra es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9

2- Halla la mediana de las siguientes series estadísticas.

a) 1, 7, 3, 2, 4, 6, 2, 5, 6

b) 4, 2, 1, 3, 8, 5, 3, 1, 6, 7

3- Se tienen dos distribuciones cuyos datos son los siguientes:

Distribución A: 9, 5, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 9, 8, 1, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 2, 5, 6, 7

Distribución B: 1, 1, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 5, 4, 3, 1, 2, 1, 5, 7, 8, 9, 9, 2, 1

a) Halla el rango de ambas distribuciones.

4- Se tiene el siguiente conjunto de datos:

10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

a) Obtén la mediana

Respuestas:

1- a

2- a) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7 M = 4

b) 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8; La mediana es la media aritmética de los dos valores centrales, M = 3,5.

3- Rango de A: 9 - 1 = 8

Rango de B: 9 - 1 = 8

4- a) Ordenamos los datos de menor a mayor:

3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20

Como hay 26 valores, la mediana es la media de los dos valores centrales: M= 10 + 10 / 2 = 10

Creado por Portal Educativo. Fecha: 2012-04-06. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.

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En este enlace encontrarás una explicación de todo el tema de este periodo en estadística que son las Medidas de tendencia central:

https://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_5/M/SM/SM_M_G05_U05_L02.pdf